樹形図で考えよう
並べ方をもれなく数えるには、樹形図（木の枝のような図）がとても役立ちます。
例題：A、B、Cの3人を1列に並べる
3人を1列に並べる方法を、樹形図で書き出してみましょう。
樹形図から、A、B、Cの3人の並べ方は全部で6通りあることがわかります。
かけ算で数えよう（階乗）
樹形図を使わなくても、かけ算で並べ方の数を求めることができます。
1番目に並ぶ人は、A・B・Cの3人から選べます。
2番目に並ぶ人は、残りの2人から選べます。
3番目に並ぶ人は、残りの1人だけです。
3 × 2 × 1 = 6（通り）
このように「n個のものを全て並べる方法」は次のように計算できます。
n × (n−1) × (n−2) × … × 2 × 1
これを n の階乗（n!）といいます。
ポイント：階乗
- 3! = 3 × 2 × 1 = 6
- 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24
- 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120
n個のものを全て1列に並べる方法は n! 通りです。
一部を選んで並べる場合
全部ではなく、n個の中からr個だけ選んで並べる場合もあります。
例題：5人の中から3人を選んでリレーの順番を決める
1番目の走者は5人から選べます。
2番目の走者は残り4人から選べます。
3番目の走者は残り3人から選べます。
5 × 4 × 3 = 60（通り）
ポイント：n個からr個を選んで並べる数（nPr）
nPr = n × (n−1) × (n−2) × … （r個のかけ算）
- 5P3 = 5 × 4 × 3 = 60
- 4P2 = 4 × 3 = 12
- 6P4 = 6 × 5 × 4 × 3 = 360
旗の色の並べ方
旗の色の問題は、並べ方の考え方を使う代表的な問題です。
例題：赤・青・白・黄の4色から3色を選んで、3本の線の旗を作る
上の段・中の段・下の段で順番が変われば別の旗になります。
上の色は4色から選べるので 4通り
中の色は残り3色から選べるので 3通り
下の色は残り2色から選べるので 2通り
4 × 3 × 2 = 24（通り）
4色から3色を選んで並べるので、4P3 = 24通りです。