順列と組み合わせの基本を、樹形図を使って確実に数え上げましょう
場合の数は「全部で何通りあるか」を数える単元です。中学受験では頻出ですが、多くのお子さまが苦手とする分野でもあります。この回では「順列（並べ方）」と「組み合わせ（選び方）」の基本を学びます。
場合の数を正しく数えるためには、もれなく・重複なく数えることが鉄則です。そのための道具が「樹形図」と「表」です。いきなり公式に頼るのではなく、まず樹形図や表で全パターンを書き出す力を身につけることが重要です。
この単元で身につけたい力は3つあります。
「3人を一列に並べる」（順列）と「5人から3人を選ぶ」（組み合わせ）の違いがわからないお子さまが多いです。順列は「順番が違えば別物」、組み合わせは「順番は関係なし」と理解する必要があります。
「並べる」「順番に」「1番目・2番目」は順列のキーワード、「選ぶ」「グループを作る」「チームを作る」は組み合わせのキーワードです。ただし、キーワードだけに頼らず、「順番を変えたら別の場合になるか？」を常に考えさせましょう。
樹形図を描かずに頭の中で数えようとすると、数え漏れや重複が起きます。特に数が多くなるとミスが増えます。
「シャツが3枚、ズボンが4本のとき、組み合わせは3×4＝12通り」という「かけ算の原理（積の法則）」がなぜかけ算になるのか理解できないお子さまがいます。
かけ算の原理は「それぞれの選択が独立している」ときに使えます。シャツ1枚ごとにズボン4本のどれかと組み合わせられるので、3枚分で3×4通りです。樹形図で確認すると理解しやすくなります。
「0を含む3桁の整数を作る」のように、百の位に0が来ない（＝条件付き）問題でつまずくお子さまが多いです。
公式を教える前に、樹形図で全てのパターンを書き出す練習を十分にさせましょう。樹形図を描く力は、場合の数のあらゆる問題の基礎になります。
1番目がAのとき：A-B-C、A-C-B → 2通り
1番目がBのとき：B-A-C、B-C-A → 2通り
1番目がCのとき：C-A-B、C-B-A → 2通り
合計：2＋2＋2＝6通り（＝3×2×1＝6通り）
4人を一列に並べるとき、1番目は4通り、2番目は残り3通り、3番目は2通り、4番目は1通りなので、4×3×2×1＝24通りです。「使ったものは減っていく」感覚を身につけさせましょう。
順列の計算は「最初の選択肢の数×（1つ減った数）×（さらに1つ減った数）×…」と覚えると、式が立てやすくなります。
組み合わせの数＝順列の数÷同じメンバーの並べ方の数、と教えるとわかりやすくなります。
【問題】5人から3人を選ぶ組み合わせは何通り？
まず順列：5×4×3＝60通り（選んで並べる場合の数）
3人の並べ方：3×2×1＝6通り
組み合わせ：60÷6＝10通り
場合の数は公式に頼りすぎると応用が利きません。少ない数で樹形図を描き、その結果が公式と一致することを確認する体験を重ねさせましょう。「なぜかけ算で求まるのか」を実感として理解することが大切です。